Práctica #10, Runge Kutta.

 

Práctica #10, Runge Kutta.

 

Resumen—En este artículo se explorará la introducción,  el desarrollo de la realización de la práctica 10 en donde se explorara los diferentes comandos que tiene el software a utilizar Excel, además se desarrollaran los conocimientos básicos de la computadora y la utilización de las matemáticas básicas y el álgebra así como los cálculos previamente indicados en esta décima práctica y reforzando nuestros conocimientos en el software de Excel; además del análisis de los distintos métodos para resolver ecuaciones diferenciales que son el de Runge Kutta de orden superior que además presento una breve descripción e introducción a cada uno de los distintos métodos. Con la aplicación del desarrollo de cada ecuación diferencial ya estudiada y vista en clases de ecuaciones diferenciales.

 

Palabras clave—Excel, Práctica 10, software, comandos, computadoras, Mathcad.

 

 

I.    

INTRODUCCIÓN

Los comandos en Excel pueden tener muchas características útiles para la mejor comprensión para

una idea mejor al momento de la realización de una o varias tareas prácticas; unas de las mejores que nos servirían mucho para esta segunda práctica son [1]:

·         Realizan acciones del mismo modo que los usuarios.

·         Pueden hacer lo que haga un usuario, como modificar la configuración de Excel, abrir, cerrar y editar documentos, iniciar actualizaciones, etc.

·         Pueden mostrar cuadros de diálogo e interactuar con el usuario.

·         Se pueden vincular para controlar los objetos de modo que se les llame al realizar alguna acción en ese objeto, como al hacer clic.

 

Además de analizar los comandos, necesitamos realizar un pequeño aporte de investigación para los tipos de métodos de solución de las ecuaciones diferenciales que usaremos en esta práctica.

Las ecuaciones diferenciales aparecen naturalmente al modelar situaciones físicas en las ciencias naturales, ingeniería, y otras disciplinas, donde hay envueltas razones de cambio de una o varias funciones desconocidas con respecto a una o varias variables independientes. Estos

modelos varían entre los más sencillos que envuelven una sola ecuación diferencial para una función desconocida, hasta otros más complejos que envuelven sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas para varias funciones desconocidas [2].

Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjunto de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial [3].

 

II.     DESARROLLO DE LA PRÁCTICA 10

 

Para el desarrollo de la práctica se necesitan varias cosas; las principales son: la descripción de la práctica, es decir, en que consiste la práctica, los materiales a usar y finalmente el desarrollo de dicha práctica.

 

1.2.1  DESCRIPCION DE LA PRÁCTICA

 

Una breve descripción de la práctica es que el alumno encontrara una tabla de valores que corresponde a la ecuación solución que representa el problema de valor inicial de una ecuación diferencial dada.

 

1.2.2  MATERIALES A USAR

 

·         Computadora

·         Software (Microsoft Excel)

·         Libro

·         Software MathType

·         Proyector

·         Geogebra

 

 

1.2.3  REALIZACIÓN DE LA PRÁCTICA

 

Principalmente para el desarrollo de la práctica se necesitan el software de Excel, lo abrimos creamos una hoja para trabajar en ello. Además necesitaremos el software de Mathtype para obtener primeramente las ecuaciones diferenciales para la resolución de la misma, así como la ecuación diferencial dada en la práctica, como se muestra en la Fig. 1.

 

1

 

Fig. 1. Ecuación diferencial a resolver y obtener resultados.

 

Ahora antes de aplicar el método, debemos de calcular y encontrar la solución general de la ecuación  diferencial de la Fig. 1, aplicando métodos que ya conocemos y calculamos la ecuación manualmente la solución general explicita nos queda que despejada a “y”, y que además nos dan los valores iniciales para “x” y para “y”, como se muestra en la Fig. 2.

Fig. 2. Solución general de la Ecuación Diferencial y los valores iniciales.

 

Como se observa en la Fig. 2, la solución general de la ecuación es imposible despejarla y por lo tanto usaremos la Ec. 1 para obtener su valor real de la función, ya que al final podremos observar su función.

 

       (1)

Además con lo dicho antes, podemos graficar la Ec. 1 en Geogebra para visualizar mejor la función real, como se muestra en la Fig. 3, que sin más dudas es la gráfica que pertenece a nuestra solución general de la ecuación diferencial.

Fig. 3. Ecuación general graficada en geogebra para su mejor visualización al momento de realizar los métodos de Euler.

 

Además de obtener la solución, la gráfica y los valores iniciales, hay distintas fórmulas que debemos de conocer

del método para calcular los distintos niveles o los de 3er y 4to orden en este caso, como se muestra en la Fig. 4, las distintas funciones y formulas a usar en este método.

Fig. 4, formulas a usar para el método de kutta. Con el distintivo procedimiento de cada una.

 

Sabiendo lo anterior aplicamos el método de Runge kutta principalmente usamos los tres datos, la ecuación diferencial, su solución general y los valores iniciales como se observan en la Fig. 1 y Fig. 2.

Para este método aplicaremos solamente los comandos ya conocidos de Excel, por decir que lo único difícil es calcular la solución de la ecuación diferencial, Entonces resolvemos por el método de Kutta de 3er orden solamente usando los valores iniciales anteriores y con 3 distintos valores para h, h=0.01, h=0.005 y h=0.0001.

Primero con h=0.01, como resultado obtenemos los siguientes valores, como se observa en la Fig. 5.

 

2

Fig. 5. Resultados obtenidos con h=0.01.

 

Ahora calculando usando h=0.005, como se observa en la Fig. 6.

Fig. 6. Datos obtenidos con h=0.005.

 

Ahora usando h=0.0001, como se muestra en la Fig. 7.

 

Fig. 7. Datos obtenidos con h=0.0001.

 

En la Fig. 7 si se obtienen los mismos valores, sin embargo son muchísimos números por lo tanto solo puse los  primeros valores, pero si se obtienen los valores esperados.

 

Ahora como siguiente paso usaremos el método de Runge de 4to Orden para resolver la ecuación diferencial de la Fig. 1, igualmente usando los mismos valores de h que se usaron anteriormente solo que esta vez será con el mismo método de 4to orden.

Primeramente usamos el primer valor de h=0.01, como se observa en la Fig. 8 los valores obtenidos.

Fig. 8. Datos obtenidos con h=0.01 y con el método de Runge Kutta de 4to orden.

 

Ahora usamos h=0.005, como se observa en la Fig. 9.

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

Fig. 9. Datos obtenidos usando h=0.005 y con el método de Runge kutta de 4to orden.

 

 

Ahora usando el mismo método pero con h=0.0001, como se observa en la Fig. 10.

 

Fig. 10. Valores obtenidos con h=0.0001.

Igualmente para la Fig. 10, se obtuvieron los mismos datos que como los otros valores, sin embargo no se muestran todos, pero si se obtuvieron los valores esperados.

 

Ahora como siguiente paso debemos de comparar los resultados obtenidos de cada método, los valores esperados ya sea de “y” o y real, pero como vimos anteriormente se obtuvieron los valores esperados. Como se observa en la tabla 1.

 

Tabla 1. Resultados obtenidos.

 

Resultado                  Ep
Clásico
RK 3er h=0.01	5.14521	3.83333
RK 3er h=0.005	5.1325	1.913
RK                   3er h=0.0001	5.1466	1.909
RK 4to h=0.01	5.16319	1.5932
RK 4to h=0.005	5.16319	1.5962
RK 4to h=0.0001	5.1631929	1.59921

 

Como siguiente paso necesitaremos graficar los datos ya obtenidos que nos dio de cada uno de los valores obtenidos con los valores de h. Y además junto con el valor real (y real) para comprobar cada valor obtenido. Como se observa en la Fig. 11, las gráficas de cada uno de los valores obtenidos, que representan las soluciones de Rugen kutta de 4to orden.

 

4

 

Fig. 11. Graficas obtenidas con el método de Runge kutta de 4to orden.

 

Ahora debemos de graficar los distintos valores obtenidos con el método de Runge kutta de 3er orden, como se observa en la Fig. 12.

Fig. 12. Graficas obtenidas al graficar los valores calculados con el método de Runge kutta de 3er orden.

 

Como siguiente paso ahora haremos todo el mismo procedimiento anteriormente desarrollado en esta práctica, mismos valores de h, y misma ecuación diferencial. Pero esta vez usaremos un valor inicial de y(2)=10, para

resolverlas igualmente con el mismo método de  Runge kutta de 3er y 4to orden.

Primero empezamos con el valor de h=0.01, usando el método de Runge kutta de 3er orden, como se muestra en la Fig. 13.

Fig. 13. Valores obtenidos con h=0.01 con el método de Runge de 3er orden.

 

Ahora calculamos con h=0.005, igualmente con el método de kutta de 3er orden. Como se muestra en la Fig. 14.

Fig. 14. Valores obtenidos con h=0.005.

 

Ahora usando h=0.0001 para los mismos valores. Como se muestra en la Fig. 15.

 

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Fig. 16. Primeros valores obtenidos, usando h=0.01.

 

Ahora con el valor de h=0.005, igualmente con  el método de kutta de 4to orden, como se muestra en la Fig. 17.

 

 

 

Fig. 15. Resultados obtenidos con h=0.0001, y usando el método de kutta de 3er orden.

Ahora como siguiente paso será realizar los mismos procedimientos para obtener los resultados esperados, pero esta vez será usando el método de Runge kutta de 4to orden para la ecuación diferencial y también para los valores iniciales y(2)=10 que ya usamos para obtener los valores anteriormente calculados.

Primeramente usamos el valor h=0.01 para obtener los resultados, como se observa en la Fig. 16.

Fig. 17. Resultados obtenidos usando h=0.005, con el método de kutta 4to orden.

 

Ahora aplicamos el ultimo valor de h=0.0001, igualmente usando el método de Euler mejorado. Como se muestra en la Fig. 18.

 

 

6

Fig. 18. Resultados obtenidos usando el valor de h=0.0001, con el método kutta de 4to orden.

 

 

Ahora como siguiente paso debemos de comparar los resultados obtenidos de cada método, los valores esperados ya sea de “y” o y real, pero como vimos anteriormente se obtuvieron los valores esperados. Como se observa en la tabla 2.

 

Tabla 2. Resultados Obtenidos.

Resultados
RK 3er h=0.01	10.1172
RK 3er h=0.005	10.1117
RK 3er h=0.0001	10.1172
RK 4to h=0.01	10.2820
RK 4to h=0.005	10.1355
RK 4to h=0.0001	10.135

 

Ahora debemos de graficar los distintos valores obtenidos con el método de Runge Kutta de 4to orden. En este caso del método solamente para distinguirlas mejor, como se observa en la Fig. 19.

 

 

 

 

 

 

 

Fig. 19. Graficas obtenidas con el método de Runge kutta de 4to orden.

 

Y ahora debemos de graficar los distintos valores obtenidos con el método de Runge kutta de 3er orden, como se observa en la Fig. 20.

 

 

 

 

 

 

 

 

7

h0.01

h

= 3.4424857e0.37267 x

= 3.594204e0.330125 x

0.005

h0.0001

= 3.578525e0.334486 x

 

 

 

Fig. 20. Graficas obtenidas con el método de Runge kutta de 3er orden.

 

Finalmente obtenemos los resultados esperados y los podemos comparar entre ellos, podemos observar que en cada grafica obtenida se parecen mucho, ya que con los métodos de Runge kutta de 3er y 4to orden se calculan sin ningún problema y son muy parecidas casi. Y con la solución general graficada podemos decir que si son casi exactamente iguales nuestras funciones calculadas y como se observan en cada una de las tablas.

 

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

Ahora para la actividad complementaria, hay que aplicar los distintos métodos numéricos que ya hemos aplicado anteriormente en otras prácticas (Regresión o LaGrange), para obtener la mejor función que correspondan para los resultados obtenidos de las tablas 1 y 2.

Además al final de obtener los resultados compararemos los distintos resultados obtenidos, igualmente para las tablas 1 y 2.

Principalmente para los primeros resultados obtenidos usando h y con valores iniciales de y(1)=5, para el método de Runge kutta de 3er orden que se obtuvieron las distintas funciones, como se observa en la Fig. 21.

Fig. 22. Funciones obtenidas usando el método de regresión, para los valores obtenidos del método de Kutta de 4to orden.

 

Comparamos los resultados y las funciones obtenidas por el método de regresión y podemos observar que no hay mucho cambio entre ellas, además de que en las gráficas de cada una, como se pueden observar en las Fig. 11, 12, 19 y Fig. 20 que no hay mucho cambio entre ella, por lo tanto si están bien los resultados obtenidos anteriormente.

Y en otro caso, si graficáramos todas las funciones podríamos observar que las funciones se aproximarían bastante, esto se da por los métodos de Runge kutta que obtuvimos y realizamos anteriormente.

 

 

III.    CONCLUSIONES

En esta práctica Comprendimos diferentes comandos referentes a matemáticas, para la utilización de los métodos de Euler y Euler mejorado se debieron de tener los conocimientos básicos de la materia de ecuaciones diferenciales para obtener las soluciones exactas y precisas para la obtención hay aplicación de dichos métodos que, además obtuvimos en esta práctica distintos valores que nos ayudaron a comprender mejor este tipo de temas. También debemos de tener en cuenta que la solución de ecuaciones diferenciales debe de ser precisa, ya que en algunas ocasiones debemos de estudiar los resultados y las soluciones generales y explicitas para encontrar la mejor solución a nuestro problema.

 

h0.01

h

= 3.573799e0.3352974 x

= 3.71524e0.2970035 x

REFERENCIAS

 

[1]. Microsoft Office. “Information general Excel Office”. Internet:             https://support.office.com/es-

0.005

h0.0001

= 3.7049153e0.2997775 x

es/article/informaci%C3%B3n-general-sobre- f%C3%B3rmulas-en-excel-ecfdc708-9162-49e8-b993- c311f47ca173 Oct, 17 2013 [Abril. 26, 2020].

Fig. 21. Funciones obtenidas usando los valores de h y el método de Runge kutta de 3er orden para los valores iniciales de y(1)=5,

 

Igualmente las funciones obtenidas usando el método de regresión como se usó anteriormente, para las tablas obtenidas del método de Runge Kutta de 4to orden, con los mismos valores de h y con el mismo valor inicial y(1)=5, como se observa en la Fig. 22.

[2].  Danaly9.     “Métodos  de  Euler  y Euler Modificado”.

Internet: https://www.monografias.com/trabajos73/metodos- numericos-metodo-euler-mejorado/metodos- numericos-metodo-euler-mejorado.shtml   Junio, 01

2019 [Mayo 30, 2020].

 

 

[3]. Wikipedia. “Métodos de Runge kutta”. Internet: https:

 

8

https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_ Runge-Kutta agosto, 21 2019 [Mayo 30, 2020].