Práctica #6, Calcular el área bajo la curva, Método del Trapecio y Newton-Cortes.

Práctica #6, Calcular el área bajo la curva, Método del Trapecio y Newton-Cortes.

Resumen—En este artículo se explorará la introducción, el desarrollo de la realización de la práctica 6 en donde se explorara los diferentes comandos que tiene el software a utilizar Excel, además se desarrollaran los conocimientos básicos de la computadora y la utilización de las matemáticas básicas y el álgebra así como los cálculos previamente indicados en esta quinta práctica y reforzando nuestros conocimientos en el software de Excel; además en esta practica se realiza con el método de integración numérica que consistirá en ejemplos y ejercicios fácilmente aplicados a una función específicamente dada.

 

    Palabras clave—Excel, Práctica 6, software, comandos, computadoras, Mathcad.

 

I.     INTRODUCCIÓN

L

os comandos en Excel pueden tener muchas características útiles para la mejor comprensión para una idea mejor al momento de la realización de una o varias tareas prácticas; unas de las mejores que nos servirían mucho para esta segunda práctica son [1]:

·          Realizan acciones del mismo modo que los usuarios.

·         Pueden hacer lo que haga un usuario, como modificar la configuración de Excel, abrir, cerrar y editar documentos, iniciar actualizaciones, etc.

·         Pueden mostrar cuadros de diálogo e interactuar con el usuario.

·         Se pueden vincular para controlar los objetos de modo que se les llame al realizar alguna acción en ese objeto, como al hacer clic.

 

Además hay que saber e investigar como se caracteriza la integración numérica en el análisis numérico; para ello hay que investigar un poco y encontrar algunas características y algunos de sus métodos.

En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término

 

cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a  pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza [2].

 

Métodos para integrales unidimensionales.

Los métodos de integración numérica pueden ser descritos generalmente como combinación de evaluaciones del integrando para obtener una aproximación a la integral. Una parte importante del análisis de cualquier método de integración numérica es estudiar el comportamiento del error de aproximación como una función del número de evaluaciones del integrando. Un método que produce un pequeño error para un pequeño número de evaluaciones es normalmente considerado superior. Reduciendo el número de evaluaciones del integrando se reduce el número de operaciones aritméticas involucradas, y por tanto se reduce el error de redondeo total. También, cada evaluación cuesta tiempo, y el integrando puede ser arbitrariamente complicado [3].

II.     DESARROLLO DE LA PRÁCTICA 6

 

Para el desarrollo de la práctica se necesitan varias cosas; las principales son: la descripción de la práctica, es decir, en que consiste la práctica, los materiales a usar y finalmente el desarrollo de dicha práctica.

 

1.2.1 DESCRIPCION DE LA PRÁCTICA

 

Una breve descripción de la práctica es que el alumno encontrara valores perdidos dentro de una tabla de valores proporcionada, posteriormente el alumno calculara la función que corresponde a la tabla de valores y compara la gráfica con los valores de la tabla.

 

1.2.2 MATERIALES A USAR

 

·         Computadora

·         Software (Microsoft Excel)

·         Proyector

 

1.2.3 REALIZACIÓN DE LA PRÁCTICA

 

Principalmente para el desarrollo de la práctica se necesitan el software de Excel, lo abrimos creamos una hoja para trabajar con la formula dada para obtener los valores de la integral necesitaremos los intervalos de la integral.

 

Paso 1. Como primer paso iniciaremos aplicando los métodos que ya conocemos del calculo integral para calcular el área de la primera Ec. 1 para construirla como una integral definida, ya que sus intervalos son que a=2 y b=5.

 

(1)

 

Y además de esto debemos de reconocer que la Ec. 1 debe de expresarse como la integral definida junto con sus respectivos intervalos y sabiendo que lo que queremos obtener es el área de la función, entonces la Ec. 2 representa el área que queremos calcular respectivamente.

 

(2)

 

Ahora que ya conocemos las distintas ecuaciones podemos aplicar métodos que ya conocemos del cálculo integral para calcular el área real de la integral definida, como se muestra en la Fig. 1.

 

Fig. 1, Área calculada usando los métodos básicos para las integrales definidas.

 

Paso 2. Ahora que calculamos el área bajo la curva real para demostrar que es la misma, la calcularemos igualmente pero usando el método de Newton-Cortes que aplicaremos algunas regresiones para obtener el área y formar una tabla donde demostremos la aproximación de las áreas.

También al usar el método de Newton-cortes debemos de usar algunas regresiones para obtener el método bien, ya que en eso consiste el método y además debemos de calcular su respectivo error porcentual para asegurarnos de cuanto error podemos estar hablando.

Entonces, al aplicar los métodos que ya conocemos en Excel para insertar las formulas, como se muestra en la Fig. 2, podemos obtener el área calculada con el método usado y además también el error porcentual que obtuvimos usando las distintas regresiones.

 

Fig. 2. Método aplicado de Newton-cortes para obtener el área bajo la curva.

 

Paso 3. Una vez calculadas las áreas, tanto real como calculada con el método de Newton cortes, podemos ahora aplicar el siguiente método que es el método del Trapecio para obtener una nueva área y un nuevo error porcentual, además seria casi el mismo procedimiento que en el paso 2 pero con otros distintos valores que serias que N=6 y N=10.

Además sabemos que el método del trapecio tiene la Ec. 3 que además podemos aplicarlo en el método para obtener el área calculada respectivamente usando n=9.

 

(3)

 

Al aplicar los comandos que ya conocemos en Excel podemos calcular el área calculada usando el método del trapecio, como se observa en la Fig. 3, para el área calculada.

 

Fig. 3. Área calculada usando el método del trapecio con algunas regresiones.

Una vez obtenidos los resultados los podemos comparar en una tabla para mayor comodidad y poder observar que los resultados estén muy parecidos respectivamente, como se observa en la tabla 1.

 

Tabla 1. Resultados Obtenidos.

Método usado	AREA (A)
Analítica	5455774.91
Trapecio	6853169.48
Newton-Cortes	7581287.79

 

Ahora como siguiente desarrollo de esta practica vamos a realizar los mismos pasos pero ahora aplicando la Ec. 4 en calcular el área real y en los dos métodos aplicados anteriormente.

 

(4)

 

Para la obtención del área real igualmente aplicando los métodos que ya conocemos para las integrales definidas.

Como se observa en la Fig. 4, para el área real.

 

Fig. 4. Área real calculada con métodos del cálculo integral.

 

En la Fig. 5 se puede observar el área calculada con el método de Newton-Cortes.

 

Fig. 5. Área calculada con el método de Newton-Cortes.

En la Fig. 6 se puede observar que aplicando el método del trapecio nos da el área calculada para que al final podamos comparar los resultados obtenidos nuevamente, pero esta vez usando la Ec. 4.

 

Fig. 6. Área obtenida calculada usando el método del trapecio.

 

Una vez obtenidos los resultados los podemos comparar en una tabla para mayor comodidad y poder observar que los resultados estén muy parecidos respectivamente, como se observa en la tabla 2.

 

Tabla 2. Resultados obtenidos de la Ec. 4.

Método usado	Área (a)
Analítica	7653.21957
Trapecio	-1948.16641
Newton-Cortes	-2145.80792

 

 

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

 

Ahora aplicando los mismos métodos pero para la Ec. 1 solamente con el valor de n=100, debemos de comparar los resultados obtenidos y aplicando los métodos que ya hemos aplicado.

 

En la Fig. 7 se puede observar el área real de la Ec. 1.

 

Fig. 7. Área real calculada con los métodos de cálculo integral.

 

En la Fig. 8. Se puede observar el área calculada con el método de Newton-cortes.

 

Fig. 8. Área calculada con el método de Newton-cortes que además las regresiones y la tabla llegan hasta x100.

 

En la Fig. 9 se puede observar el área calculada usando el método del trapecio.

 

Fig. 9. Área calculada con el método del trapecio, las regresiones y la tabla llegan hasta x50.

 

 

Una vez obtenidos los resultados los podemos comparar en una tabla para mayor comodidad y poder observar que los resultados estén muy parecidos respectivamente, como se observa en la tabla 3.

 

Tabla 3. Resultados obtenidos.

Método usado	Área (A)
Analítica	5455774.91
Trapecio	5459452.3
Newton-Cortes	5470478.51

 

III.     CONCLUSIONES

En esta práctica Comprendimos diferentes comandos referentes a matemáticas, para la realización de escritura de comandos usando formulas podemos obtener los valores de las áreas calculadas usando los diferentes métodos como son el método del trapecio y el método de newton-cortes para la obtención de distintas áreas y calculadas, con esto aplicado en la practica para la comparación de las áreas calculadas con el área real calculada con integrales y el calculo integral, usando las funciones y los comandos de Excel para la aplicación de estos distintos métodos usados.

IV.     REFERENCIAS

 

[1].    Microsoft Office. “Information general Excel Office”. Internet: https://support.office.com/es-es/article/informaci%C3%B3n-general-sobre-f%C3%B3rmulas-en-excel-ecfdc708-9162-49e8-b993-c311f47ca173  Oct, 17 2013 [Feb. 19, 2020].

 

[2].    Wikipedia.  “integración numérica”. Internet: https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9rica Junio, 01 2019 [Marzo. 18, 2020].

 

[3].    Matlab. “Integración numérica”. Internet:  http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/numerico/integral/integral.html Abril 2, 2018 [Marzo. 18, 2020].