Práctica #9, Euler y Euler Mejorado.
Resumen—En este artículo se explorará la introducción, el desarrollo de la realización de la práctica 9 en donde se explorara los diferentes comandos que tiene el software a utilizar Excel, además se desarrollaran los conocimientos básicos de la computadora y la utilización de las matemáticas básicas y el álgebra así como los cálculos previamente indicados en esta novena práctica y reforzando nuestros conocimientos en el software de Excel; además del análisis de los distintos métodos para resolver ecuaciones diferenciales que son el de Euler y Euler mejorado que además presento una breve descripción e introducción a cada uno de los distintos métodos. Con la aplicación del desarrollo de cada ecuación diferencial ya estudiada y vista en clases de ecuaciones diferenciales.
Palabras clave—Excel, Práctica 9, software, comandos, computadoras, Mathcad.
I.
Los comandos en Excel pueden tener muchas características útiles para la mejor comprensión para
una idea mejor al momento de la realización de una o varias tareas prácticas; unas de las mejores que nos servirían mucho para esta segunda práctica son [1]:
· Realizan acciones del mismo modo que los usuarios.
· Pueden hacer lo que haga un usuario, como modificar la configuración de Excel, abrir, cerrar y editar documentos, iniciar actualizaciones, etc.
· Pueden mostrar cuadros de diálogo e interactuar con el usuario.
· Se pueden vincular para controlar los objetos de modo que se les llame al realizar alguna acción en ese objeto, como al hacer clic.
Además de analizar los comandos, necesitamos realizar un pequeño aporte de investigación para los tipos de métodos de solución de las ecuaciones diferenciales que usaremos en esta práctica.
Las ecuaciones diferenciales aparecen naturalmente al modelar situaciones físicas en las ciencias naturales, ingeniería, y otras disciplinas, donde hay envueltas razones de cambio de una o varias funciones desconocidas con respecto a una o varias variables independientes. Estos
modelos varían entre los más sencillos que envuelven una sola ecuación diferencial para una función desconocida, hasta otros más complejos que envuelven sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas para varias funciones desconocidas [2].
.
II. DESARROLLO DE LA PRÁCTICA 9
Para el desarrollo de la práctica se necesitan varias cosas; las principales son: la descripción de la práctica, es decir, en que consiste la práctica, los materiales a usar y finalmente el desarrollo de dicha práctica.
1.2.1 DESCRIPCION DE LA PRÁCTICA
Una breve descripción de la práctica es que el alumno encontrara una tabla de valores que corresponde a la ecuación solución que representa el problema de valor inicial de una ecuación diferencial dada.
1.2.2 MATERIALES A USAR
· Computadora
· Software (Microsoft Excel)
· Libro
· Software MathType
· Proyector
· Geogebra
1.2.3 REALIZACIÓN DE LA PRÁCTICA
Principalmente para el desarrollo de la práctica se necesitan el software de Excel, lo abrimos creamos una hoja para trabajar en ello. Además necesitaremos el software de Mathtype para obtener primeramente las ecuaciones diferenciales para la resolución de la misma, así como la ecuación diferencial dada en la práctica, como se muestra en la Fig. 1.
1
Fig. 1. Ecuación diferencial a resolver y obtener resultados.
Ahora antes de aplicar el método, debemos de calcular y encontrar la solución general de la ecuación diferencial de la Fig. 1, aplicando métodos que ya conocemos y calculamos la ecuación manualmente la solución general explicita nos queda que despejada a “y”, y que además nos dan los valores iniciales para “x” y para “y”, como se muestra en la Fig. 2.
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Fig. 2. Solución general de la Ecuación Diferencial y los valores iniciales.
Como se observa en la Fig. 2, la solución general de la ecuación es imposible despejarla y por lo tanto usaremos la Ec. 1 para obtener su valor real de la función, ya que al final podremos observar su función.
(1)
Además con lo dicho antes, podemos graficar la Ec. 1 en Geogebra para visualizar mejor la función real, como se muestra en la Fig. 3, que sin más dudas es la gráfica que pertenece a nuestra solución general de la ecuación diferencial.
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Fig. 3. Ecuación general graficada en geogebra para su mejor visualización al momento de realizar los métodos de Euler.
Sabiendo lo anterior aplicamos el primer método de Euler principalmente usamos los tres datos, la ecuación diferencial, su solución general y los valores iniciales como
se observan en la Fig. 1 y Fig. 2.
Para este método aplicaremos solamente los comandos ya conocidos de Excel, por decir que lo único difícil es calcular la solución de la ecuación diferencial, Entonces resolvemos por el método de Euler solamente usando los valores iniciales anteriores y con 3 distintos valores para h, h=0.01, h=0.005 y h=0.0001.
Primero con h=0.01, como resultado obtenemos los siguientes valores, como se observa en la Fig. 4.
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Fig. 4. Resultados obtenidos con h=0.01.
Ahora calculando usando h=0.005, como se observa en la Fig. 5.
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Fig. 5. Datos obtenidos con h=0.005.
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Ahora usando h=0.0001, como se muestra en la Fig. 6.
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Fig. 6. Datos obtenidos con h=0.0001.
En la Fig. 6 si se obtienen los mismos valores, sin embargo son muchísimos números por lo tanto solo puse los primeros valores, pero si se obtienen los valores esperados.
Ahora como siguiente paso usaremos el método de Euler Mejorado para resolver la ecuación diferencial de la Fig. 1, igualmente usando los mismos valores de h que se usaron anteriormente con el método de Euler.
Primeramente usamos el primer valor de h=0.01, como se observa en la Fig. 7 los valores obtenidos.
Fig. 7. Datos obtenidos con h=0.01 y con el método de Euler mejorado.
Ahora usamos h=0.005, como se observa en la Fig. 8.
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Fig. 8. Datos obtenidos usando h=0.005 y con el método de Euler mejorado.
Ahora usando el mismo método pero con h=0.0001, como se observa en la Fig. 9.
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Fig. 9. Valores obtenidos con h=0.0001.
Igualmente para la Fig. 9, se obtuvieron los mismos datos que como los otros valores, sin embargo no se muestran todos, pero si se obtuvieron los valores esperados.
Ahora como siguiente paso debemos de comparar los resultados obtenidos de cada método, los valores esperados ya sea de “y” o y real, pero como vimos anteriormente se obtuvieron los valores esperados. Como se observa en la tabla 1.
Tabla 1. Resultados obtenidos con valores.
Resultado Ep
Clásico |
|
|
Euler h=0.01 | 5.1635 | 331.98 |
Euler h=0.005 | 5.1633 | 331.9683 |
Euler h=0.0001 | 5.1631 | 331.9545 |
E Mejorado h=0.01 | 5.1635 | 331.9861 |
E. Mejorado h=0.005 | 5.16338 | 331.970 |
E. Mejorado h=0.0001 | 5.1433 | 331.95545 |
Como siguiente paso necesitaremos graficar los datos ya obtenidos que se muestran en la tabla 1. Y además junto con el valor real (y real) para comprobar cada valor obtenido y el método de Euler se pueda cumplir al momento de la evaluación de la ecuación diferencial. Como se observa en la Fig. 10, las gráficas de cada uno de los valores obtenidos.
Fig. 10. Graficas obtenidas con el método de Euler.
Ahora debemos de graficar los distintos valores obtenidos con el método de Euler mejorado, como se observa en la Fig. 11.
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Fig. 11. Graficas obtenidas al graficar los valores calculados con el método de Euler mejorado.
Como siguiente paso ahora haremos todo el mismo procedimiento anteriormente desarrollado en esta práctica, mismos valores de h, y misma ecuación diferencial. Pero esta vez usaremos un valor inicial de y(2)=10, para resolverlas igualmente con los dos mismos métodos de Euler y Euler mejorado.
Primero empezamos con el valor de h=0.01, usando el método de Euler, como se muestra en la Fig. 12.
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Fig. 12. Valores obtenidos con h=0.01 con el método de Euler.
Ahora calculamos con h=0.005, igualmente con el método de Euler. Como se muestra en la Fig. 13.
Fig. 13. Valores obtenidos con h=0.005 usando el método de Euler.
Ahora usando h=0.0001 para los mismos valores y con el método de Euler. Como se muestra en la Fig. 14.
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Fig. 14. Resultados obtenidos con h=0.0001, y usando el método de Euler.
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Ahora como siguiente paso será realizar los mismos procedimientos para obtener los resultados esperados, pero esta vez será usando el método de Euler mejorado para la ecuación diferencial y también para los valores iniciales que ya usamos para obtener los valores anteriormente calculados.
Primeramente usamos el valor h=0.01 para obtener los resultados pero usando el método de Euler mejorado, como se observa en la Fig. 15.
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Fig. 15. Primeros valores obtenidos, usando h=0.01, con el método de Euler mejorado.
Ahora con el valor de h=0.005, igualmente con el método de Euler mejorado, como se muestra en la Fig. 16.
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Fig. 16. Resultados obtenidos usando h=0.005, con el método de Euler mejorado.
Ahora aplicamos el ultimo valor de h=0.0001, igualmente usando el método de Euler mejorado. Como se muestra en la Fig. 17.
Fig. 17. Resultados obtenidos usando el valor de h=0.0001, con el método de Euler mejorado.
Ahora como siguiente paso debemos de comparar los resultados obtenidos de cada método, los valores esperados ya sea de “y” o y real, pero como vimos anteriormente se obtuvieron los valores esperados. Como se observa en la tabla 2.
Tabla 2. Resultados Obtenidos.
Resultados | |
Euler h=0.01 | 10.1354 |
Euler h=0.005 | 10.1152 |
Euler h=0.0001 | 10.1353 |
E. mejorado h=0.01 | 10.1354 |
E. mejorado h=0.005 | 10.1152 |
E. mejorado h=0.0001 | 10.13534 |
Ahora debemos de graficar los distintos valores obtenidos con el método de Euler Mejorado. En este caso para ambos métodos de cada uno, como se observa en la Fig. 18.
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Fig. 19. Graficas obtenidas con el método de Euler.
Fig. 18. Graficas obtenidas con el método de Euler mejorado.
Y ahora debemos de graficar los distintos valores obtenidos con el método de Euler. En este caso para ambos métodos de cada uno, como se observa en la Fig. 19.
Finalmente obtenemos los resultados esperados y los podemos comparar entre ellos, podemos observar que en cada grafica obtenida se parecen mucho, ya que con los métodos de Euler y Euler mejorado podemos aproximar mucho las funciones obtenidas para una mejor visualización. Y con la solución general graficada podemos decir que si son casi exactamente iguales nuestras funciones calculadas y como se observan en cada una de las tablas.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS
Ahora para la actividad complementaria, hay que aplicar los distintos métodos numéricos que ya hemos aplicado anteriormente en otras prácticas (Regresión o LaGrange), para obtener la mejor función que correspondan para los resultados obtenidos de las tablas 1 y 2.
Además al final de obtener los resultados compararemos los distintos resultados obtenidos, igualmente para las tablas 1 y 2.
Principalmente para los primeros resultados obtenidos usando h y con valores iniciales de y(1)=5, para el método de Euler se obtuvieron las distintas funciones, como se observa en la Fig. 20.
|
h = 3.6027624e0.3277755 x
h
0.005
= 2.317x10-17 e39.8033x
|
h = 3.5828483e0.3333131x
Fig. 20. Funciones obtenidas usando los valores de h y el método
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de Euler para los valores iniciales de y(1)=5,
Igualmente las funciones obtenidas usando el método de regresión como se usó anteriormente, para las tablas obtenidas del método de Euler mejorado, con los mismos valores de h y con el mismo valor inicial y(1)=5, como se observa en la Fig. 21.
numericos-metodo-euler-mejorado/metodos- numericos-metodo-euler-mejorado.shtml Junio, 01
2019 [Mayo 30, 2020].
h0.01 h0.005
h
= 3.6234973e0.325367 x
= 3.6045221e0.328925 x
= 3.5830801e0.3332151x
0.0001
Fig. 21. Funciones obtenidas usando el método de regresión, además con valores calculados del método de Euler mejorado.
Comparamos los resultados y las funciones obtenidas por el método de regresión y podemos observar que no hay mucho cambio entre ellas, además de que en las gráficas de cada una, como se pueden observar en las Fig. 10, 11, 18 y Fig. 19 que no hay mucho cambio entre ella, por lo tanto si están bien los resultados obtenidos anteriormente.
Y en otro caso, si graficáramos todas las funciones podríamos observar que las funciones se aproximarían bastante, esto se da por los métodos de Euler y Euler mejorado que obtuvimos y realizamos anteriormente.
III. CONCLUSIONES
En esta práctica Comprendimos diferentes comandos referentes a matemáticas, para la utilización de los métodos de Euler y Euler mejorado se debieron de tener los conocimientos básicos de la materia de ecuaciones diferenciales para obtener las soluciones exactas y precisas para la obtención hay aplicación de dichos métodos que, además obtuvimos en esta práctica distintos valores que nos ayudaron a comprender mejor este tipo de temas. También debemos de tener en cuenta que la solución de ecuaciones diferenciales debe de ser precisa, ya que en algunas ocasiones debemos de estudiar los resultados y las soluciones generales y explicitas para encontrar la mejor solución a nuestro problema.
REFERENCIAS
[1]. Microsoft Office. “Information general Excel Office”.
Internet: https://support.office.com/es- es/article/informaci%C3%B3n-general-sobre- f%C3%B3rmulas-en-excel-ecfdc708-9162-49e8-b993- c311f47ca173 Oct, 17 2013 [Abril. 26, 2020].
[2]. Danaly9. “Métodos de Euler y Euler Modificado”.
Internet:
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